...une question difficile dont la réponse n'a (presque) aucune importance

Car le paradoxe de Fredkin stipule que : "Plus une décision est difficile à prendre, moins elle a d'importance". Qu'en pensez-vous ?

Platon (429-347 avant JC) Disciple de Socrate (qui parla beaucoup mais n'écrivit rien), il fonde l'Académie. Suivant Socrate qui considère qu'on ne peut connaître réellement une chose que si elle présente une certaine permanence, il en conclut que les seules vraies connaissances ne peuvent être que des constructions de l'esprit car les choses réelles sont trop fluctuantes. Nous ne serons alors pas étonnés de son goût prononcé pour les mathématiques. Nous ferons donc de Platon l'archétype du Théoricien. Lorsqu'il applique ses idées à la Politique ne pourrions nous pas en faire l'archétype du technocrate ?

Aristote (384-322 avant JC) Disciple de Platon, malgré des opinions assez fortement divergentes, il resta environ 20 ans à l'Académie. Après son départ (plus ou moins chassé à la mort de Platon par son neveu Speusippe), il fonde sa propre école : le Gymnase ou Lycée. Sa théorie du raisonnement bien formulé (syllogisme) et du discours correctement argumenté : la rhétorique en fait le pionnier de la transversalité car cet "art transversal" peut être utilisé dans tous les domaines. Une fois cet hommage rendu à son maître Platon, Aristote s'attaque à la Physique en recherchant les causes qui expliquent (à l'aide d'un syllogisme) toutes les choses qu'on peut observer. Si les Grecs avaient été des expérimentateurs, nous ferions volontier d'Aristote l'archétype de l'expérimentateur qui raisonne.

Ces deux présentations sommaires sont très caricaturales et probablement un peu tendancieuses ; elles ne résisteraient pas à une étude approfondie de l'oeuvre de ces deux philosophes qui apporterait beaucoup de nuances dans un tel jugement. Nous allons cependant nous en contenter.

Pour simplifier encore plus, nous dirons :

• le platonicien invente le monde au fur et à mesure de ses besoins,
• l'aristotélicien découvre petit à petit un monde objectif dont nous faisons partie.

Ces deux propositions peuvent être rassemblées dans la phrase, en forme d'énigme, suivante :

Question : Quel est votre point de vue ? Ne tranchez pas trop vite, évaluez soigneusement les conséquences de votre choix.

A propos, connaissez-vous l'histoire du cerveau dans un bocal ?

On peut rapprocher les points de vue platonicien et aristotélicien des deux conceptions mathématiques suivantes :

• un objet (mathématique) existe dès lors qu'on a su le définir : point de vue Définitioniste.
• un objet (mathématique) existe seulement si on a su le construire : point de vue Constructiviste.

La question de fond qui est posée ici est alors : suffit-il d'inventer un nom et de poser une définition pour que quelque chose de ce nom et satisfaisant cette définition existe ?

La citation suivante (La Société de l'Esprit — Ch. Le principe d'exception) montre que répondre à cette question n'est pas si simple :

Tous les enfants apprennent que les oiseaux volent et que les animaux qui nagent sont des poissons. Que devraient-ils faire quand on leur dit que les manchots et les autruches sont des oiseaux qui ne volent pas, ou que les baleines et les marsouins sont des animaux qui nagent mais qui ne sont pas pour autant des poissons ? ... Nous ne devrions jamais attendre d'une règle qu'elle soit parfaite, mais seulement qu'elle dise ce qui est typique. Si nous essayons de modifier chaque règle, de prendre en compte chaque exception, nos descriptions deviendront alors trop encombrantes pour être encore manipulables. Il est acceptable de passer de Les oiseaux volent à Les oiseaux volent, sauf s'il s'agit de manchots ou d'autruches, mais si vous persistez à chercher la perfection, vos règles deviendront des monstruosités :

Un exemple qui intéresse les informaticiens et leurs machines

Il y a des nombres qu'on peut nommer en assemblant selon des règles bien définies un nombre fini de signes choisis parmi un ensemble fini de ces signes. Ceux auxquels on pense en premier sont les nombres entiers : 123 représente exactement l'idée qu'on s'en fait. Comme le nom associé à ces nombres représente exactement ce qu'ils sont, on les appellent des nombres exactement représentés ou, par abus de langage : nombres exacts.

Question : Les nombres rationnels (autrement dit les fractions) sont également des nombres exacts. Qu'en pensez-vous ?

Depuis fort longtemps (avant même Socrate), on a mis en évidence des nombres qui ne pouvaient pas être nommés exactement. Les premiers nombres de cette espèce qui ont été identifiés sont les nombres irrationnels. Socrate introduisit une preuve très élégante de l'irrationalité du nombre x dont le carré vaut 2. Ce nombre qui représente, entre autre, la longueur de la diagonale d'un carré est non constructible au sens de l'arithmétique mais constructible au sens de la géométrie. Comme il est trop utile pour qu'on le laisse sans nom, on lui a attribué un nom arbitraire : √2 (ce qui se dit "racine de 2").

Question : Ces nombres ne sont pas des raretés, ils sont même extrêmement nombreux. En connaissez-vous quelques uns ?

Les nombres auxquels on ne peut pas associer un nom exact seront appelés nombres non représentables exactement ou, par abus de langage nombres inexacts. Les Grecs avaient une façon très imagée (mais très exacte) de catégoriser les nombres. Ils distinguaient :

• les nombres qu'on peut écrire (les nombres entiers et les nombres rationnels)
• les nombres qu'on ne peut pas écrire mais qu'on peut dessiner (les nombres irrationnels)
• les nombres qu'on ne peut ni écrire ni dessiner (les nombres transcendants).

On peut aussi parler de nombres bizarres qu'on ne peut ni nommer exactement ni même être sûr que leur définition représente quelque chose :

le plus petit nombre dont la définition comporte dix mots

avez-vous perçu la bizarrerie de cette définition ?

Nous verrons au chapitre Peut-on tout programmer ? que les nombres exacts jouent un rôle fondamental et comment on peut en évaluer le nombre. On verra également comment on peut les interpréter.

Une situation qui concerne les informaticiens et leurs machines

Si le définitioniste est quelqu'un qui considère qu'une chose existe dès qu'on a su la définir, il s'agit incontestablement du client d'un programmeur. Si le constructiviste est quelqu'un pour qui rien n'existe qui n'a été construit, il s'agit incontestablement d'un programmeur.

Mais alors, que répondre à un client qui serait prêt à nous acheter √2 ?

Richard Dedekind
(1831-1916)

C'est le mathématicien Dedekind qui apporta, au XIXème siècle, une réponse satisfaisante à cette question, aussi bien d'un point de vue théorique que d'un point de vue pratique. S'il est vrai qu'on ne peut pas construire un nombre inexact, on peut cependant toujours trouver un nombre exact qui s'en rapproche autant que l'on veut. C'est ce nombre exact que nous vendrons à notre client après nous être entendus sur la précision de sa valeur (et sur le prix qu'il est prêt à payer).

Bibliographie

• Le savoir Grec
  Dictionnaire critique — Jacques Brunschwig, Geoffrey Lloyd - Flammarion
  A moins d'être passionné de culture grecque, ne l'achetez pas. Allez dans une bibliothèque et consultez les quelques dizaines de pages consacrées à Platon et Aristote.